3. Из вершины А квадрата ABCD со стороной 10 см восстановлен перпендикуляр АЕ длиной 16 см. докажите, что треугольник ВСЕ- прямоугольный. Найдите его площадь.

3. Дано: ABCD - квадрат, AB = BC = CD = DA = 10 см, AE ⊥ (ABCD), AE = 16 см.

Доказать: ΔBCE - прямоугольный.

Найти: S_BCE.

Решение:

• Так как AE ⊥ (ABCD), то AE ⊥ BC (по определению перпендикулярности прямой и плоскости).
• Так как ABCD - квадрат, то BC ⊥ AB.
• BC ⊥ AE, BC ⊥ AB, AE и AB лежат в (ABE) ⇒ BC ⊥ (ABE) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).
• BC ⊥ (ABE) ⇒ BC ⊥ BE.
• BC ⊥ BE ⇒ ΔBCE - прямоугольный.
• В прямоугольном треугольнике BCE катеты BC = 10 см, BE = √ (AE² + AB²) (по теореме Пифагора).
• BE = √(16² + 10²) = √(256 + 100) = √356 см.
• S_BCE = 1/2 × BC × BE = 1/2 × 10 × √356 = 5√356 см².

Ответ: S_BCE = $$5\sqrt{356}$$ см²