5. Отрезок АМ перпендикулярен плоскости треугольника АВС и имеет длину 14 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если AB=AC=24 см., ВС=20 см.

5. Дано: AM ⊥ (ABC), AM = 14 см, AB = AC = 24 см, BC = 20 см.

Найти: d(M, BC).

Решение:

• AH - высота ΔABC, AH ⊥ BC.
• Проекция MH отрезка AM на плоскость (ABC).
• Тогда MH ⊥ BC (по теореме о трех перпендикулярах), следовательно d(M, BC) = MH.
• ΔABC - равнобедренный, AH - высота, следовательно AH - медиана. BH = HC = 1/2 × BC = 1/2 × 20 = 10 см.
• В прямоугольном ΔABH: AH = √(AB² - BH²) = √(24² - 10²) = √(576 - 100) = √476 см.
• Так как AM ⊥ (ABC), то AM ⊥ AH.
• В прямоугольном ΔAMH: MH = √(AM² + AH²) = √(14² + 476) = √(196 + 476) = √672 см.

Ответ: d(M, BC) = $$\sqrt{672}$$ см.