Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Вопрос:
5. Из вершины \(A\) прямоугольного треугольника \(ABC\) (угол \(B\) - прямой) к плоскости треугольника проведен перпендикуляр \(AK\). Определите взаимное расположение прямых \(KB\) и \(BC\).
Ответ:
Поскольку \(AK\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), то \(AK\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку \(A\), включая \(AB\) и \(AC\).
Так как \(\angle ABC = 90^\circ\), то \(AB \perp BC\).
Рассмотрим треугольник \(KAB\). Так как \(AK\) перпендикулярна плоскости \(ABC\), то \(AK \perp AB\) и, следовательно, \(\triangle KAB\) - прямоугольный с прямым углом \(A\).
Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых \(KB\) и \(BC\). По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и наклонная перпендикулярна этой прямой. Проекцией \(KB\) на плоскость \(ABC\) является \(AB\), и так как \(AB \perp BC\), то и \(KB \perp BC\).
Таким образом, прямые \(KB\) и \(BC\) перпендикулярны.
Похожие
- 2) Рассмотрим \(\triangle SOE\) - прямоугольный (т.к. по условию \(SO \perp (ABC) \Rightarrow SO \perp OE\)). Так как по условию задачи \(\angle SEO = 60^\circ\), то \(\angle OSE = 180^\circ - (90^\circ - 60^\circ) = 30^\circ\). Так как катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, а гипотенуза в два раза больше этого катета, то получаем, что \(SE = 2 \cdot OE = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}\). 3) Рассмотрим \(\triangle SEC\) и определим его тип: Так как в равнобедренном \(\triangle COD\) (\(OD = OC\) по условию задачи) \(OE\) является медианой (\(E\) - середина стороны \(DC\) по условию задачи), то \(OE\) - высота, следовательно, \(OE \perp CD\). Так как для \(\triangle SOE\) отрезок \(OE\) является проекцией наклонной \(SE\) на плоскость квадрата, то по теореме о трех перпендикулярах следует, что \(CD \perp SE\), а, следовательно, \(\triangle SEC\) - прямоугольный, в котором известно, что \(EC = 4 \text{ см}\) (по условию задачи \(DE = EC = \frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4\)), \(SE = 8 \text{ см}\) (из 2 пункта решения). По теореме Пифагора \(SC^2 = SE^2 + EC^2\) \(SC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\), т.к. \(SC > 0\), то \(SC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \text{ см}\). Ответ: \(4\sqrt{5} \text{ см}\).
- 1. \(AB\) - перпендикуляр к плоскости, \(AC\) - наклонная, \(BC\) - её проекция на плоскость, \(CD\) - прямая на плоскости, перпендикулярная прямой \(BC\). Определите величину угла \(ACD\). 2. \(AB\) - перпендикуляр к плоскости, \(AC\) - наклонная, \(BC\) - её проекция на плоскость, \(CD\) - прямая на плоскости, перпендикулярная прямой \(AC\). Определите величину угла \(BCD\).
- 3. Угол \(C\) треугольника \(ABC\) - прямой. \(AD\) - перпендикуляр к плоскости треугольника \(ABC\). Определите тип \(\triangle BCD\).
- 4. Из вершины \(S\) к плоскости квадрата \(ABCD\) проведен перпендикуляр \(BS\) и наклонные \(SA\), \(SC\) и \(SD\) (рис. 2). Назовите все прямоугольные треугольники с вершиной \(S\). Ответ обоснуйте.
- 5. Из вершины \(A\) прямоугольного треугольника \(ABC\) (угол \(B\) - прямой) к плоскости треугольника проведен перпендикуляр \(AK\). Определите взаимное расположение прямых \(KB\) и \(BC\).
