На основании $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ отметили точки $$M$$ и $$K$$ так, что $$\angle ABM = \angle CBK$$, точка $$M$$ лежит между точками $$A$$ и $$K$$. Докажите, что $$AM = CK$$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AB = BC$$ и $$\angle BAC = \angle BCA$$.

Дано: $$\angle ABM = \angle CBK$$.

Доказать: $$AM = CK$$.

Доказательство:

$$\angle ABC = \angle ABM + \angle MBC$$ и $$\angle ABC = \angle CBK + \angle KBA$$.

Так как $$\angle ABM = \angle CBK$$, то $$\angle MBC = \angle KBA$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CBK$$.

1. $$AB = BC$$ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).
2. $$\angle ABM = \angle CBK$$ (дано).
3. $$\angle BAM = \angle BCK$$ (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Следовательно, треугольники $$ABM$$ и $$CBK$$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что $$AM = CK$$.

Ответ: $$AM = CK$$ доказано.