Известно, что $$EK = FK = EC = FC$$ (рис. 43). Докажите, что $$\angle EMK = \angle FMK$$.

Дано: $$EK = FK = EC = FC$$

Доказать: $$\angle EMK = \angle FMK$$

Рассмотрим четырехугольник $$EKCF$$. Так как $$EK = FK = EC = FC$$, то это ромб.

Тогда $$KC$$ - диагональ этого ромба и она является биссектрисой углов $$\angle EKF$$ и $$\angle ECF$$.

Значит, $$\angle EKF = \angle CKF$$ и $$\angle KEC = \angle KFC$$.

Треугольники $$MEK$$ и $$MFK$$ равны по трем сторонам ($$EK = FK$$, $$MK$$ - общая, $$EM = FM$$, так как $$EM = EC + CM = FC + CM = FM$$).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть $$\angle EMK = \angle FMK$$.

Ответ: $$\angle EMK = \angle FMK$$ доказано.