Известно, что BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 279). Докажите, что AB || CD.

Дано: BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB

Доказать: AB || CD

Доказательство:

1. Так как BF = DE, то BF + FE = DE + FE, следовательно, BE = DF.
2. Так как BC || AD, то ∠CBF = ∠ADE как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.
3. Рассмотрим треугольники ΔAED и ΔCFB. В них:
   • AE = CF (дано)
   • ∠AED = ∠CFB (дано)
   • DE = BF (дано)

   Следовательно, ΔAED = ΔCFB по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников следует, что AE = CF и ∠EAD = ∠FCB.
5. Так как ∠AED = ∠CFB, то смежные с ними углы ∠AEB и ∠DFC также равны (как смежные с равными). Т.е. ∠AEB = ∠DFC.
6. Рассмотрим треугольники ΔAEB и ΔDFC. В них:
   • AE = CF
   • BE = DF (доказано ранее)
   • ∠AEB = ∠DFC (доказано ранее)

   Следовательно, ΔAEB = ΔDFC по двум сторонам и углу между ними.

7. Из равенства треугольников ΔAEB и ΔDFC следует, что ∠EBA = ∠FDC.
8. Углы ∠EBA и ∠FDC – накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
9. Следовательно, AB || CD.

Что и требовалось доказать.