Постройте график функции у = 4x+71-x²-11х - 30 и определите, при каких значениях т прямая у т имеет с графиком ровно три общие точки.

Преобразуем функцию:

$$ y = 4|x+7| - x^2 - 11x - 30 = 4|x+7| - (x^2 + 11x + 30) = 4|x+7| - (x+5)(x+6) $$

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \ge -7$$, то $$|x+7| = x + 7$$:

   $$ y = 4(x+7) - (x+5)(x+6) = 4x + 28 - (x^2 + 11x + 30) = -x^2 - 7x - 2 $$

2. Если $$x < -7$$, то $$|x+7| = -(x+7)$$.

   $$ y = -4(x+7) - (x+5)(x+6) = -4x - 28 - (x^2 + 11x + 30) = -x^2 - 15x - 58 $$

Для $$x \ge -7$$ графиком функции является парабола $$y = -x^2 - 7x - 2$$. Найдем вершину параболы:

$$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2(-1)} = -\frac{7}{2} = -3.5 $$ $$ y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) - 2 = -12.25 + 24.5 - 2 = 10.25 $$

Так как $$x_v = -3.5 > -7$$, то вершина параболы входит в рассматриваемый интервал.

Для $$x < -7$$ графиком функции является парабола $$y = -x^2 - 15x - 58$$. Найдем вершину параболы:

$$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-15}{2(-1)} = -\frac{15}{2} = -7.5 $$ $$ y_v = -(-7.5)^2 - 15(-7.5) - 58 = -56.25 + 112.5 - 58 = -1.75 $$

Так как $$x_v = -7.5 < -7$$, то вершина параболы входит в рассматриваемый интервал.

Соединим обе параболы в точке x = -7:

$$ y(-7) = -(-7)^2 - 7(-7) - 2 = -49 + 49 - 2 = -2 $$ $$ y(-7) = -(-7)^2 - 15(-7) - 58 = -49 + 105 - 58 = -2 $$

Таким образом, графиком функции является кусочно-заданная парабола с вершинами в точках (-3.5; 10.25) и (-7.5; -1.75).

Прямая y = m будет иметь с графиком ровно три общие точки, если она будет проходить через вершину одной из парабол или через точку соединения парабол.

Следовательно, m = 10.25, m = -1.75, m = -2.

Ответ: -2; -1.75; 10.25