151. Известно, что P(A) = 0,4, P(B) = 0,3. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь вероятность события А П В? вероятность события А UB?

Решение:

Дано:

• P(A) = 0.4


• P(B) = 0.3

Найдем наибольшее и наименьшее значения для P(A ∩ B) и P(A ∪ B).

1. Вероятность пересечения P(A ∩ B):

• Наибольшее значение:

P(A ∩ B) будет наибольшей, когда событие B полностью содержится в событии A. В этом случае P(A ∩ B) = P(B).

\[P(A ∩ B)_{max} = P(B) = 0.3\]

• Наименьшее значение:

Используем формулу для объединения событий:

\[P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)\]

Так как P(A ∪ B) не может быть больше 1, то:

\[P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)\]

Чтобы P(A ∩ B) была наименьшей, P(A ∪ B) должна быть наибольшей, то есть равной 1:

\[P(A ∩ B)_{min} = P(A) + P(B) - 1 = 0.4 + 0.3 - 1 = -0.3\]

Но вероятность не может быть отрицательной, поэтому наименьшее значение P(A ∩ B) = 0 (когда события A и B не пересекаются).

2. Вероятность объединения P(A ∪ B):

• Наибольшее значение:

P(A ∪ B) будет наибольшей, когда P(A ∩ B) наименьшая, то есть равна 0:

\[P(A ∪ B)_{max} = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)_{min} = 0.4 + 0.3 - 0 = 0.7\]

• Наименьшее значение:

P(A ∪ B) будет наименьшей, когда P(A ∩ B) наибольшая, то есть P(A ∩ B) = P(B):

\[P(A ∪ B)_{min} = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)_{max} = 0.4 + 0.3 - 0.3 = 0.4\]

Ответ:

• P(A ∩ B): наибольшее значение = 0.3, наименьшее значение = 0


• P(A ∪ B): наибольшее значение = 0.7, наименьшее значение = 0.4

Проверка за 10 секунд: Проверь, чтобы вероятность пересечения была не больше, чем вероятность каждого отдельного события.

Запомни: Максимальное значение пересечения двух событий — это всегда вероятность меньшего из них.