150. В отделении банка стоят два банкомата. Первый может выдавать и принимать купюры, второй — только выдавать. Вероятность, что к концу дня купюры закончатся в первом автомате, равна 0,1, а что закончатся во втором, 0,3. Вероятность, что они закончатся в двух автоматах, 0,06. Найдите вероятность того, что к концу дня купюры: а) останутся в обоих автоматах; б) останутся хотя бы в одном автомате; в) закончатся хотя бы в одном автомате; г) закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся; д) закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся.

Решение:

Пусть событие A - купюры закончились в первом банкомате, а событие B - купюры закончились во втором банкомате. Тогда:

• P(A) = 0.1


• P(B) = 0.3


• P(A ∩ B) = 0.06

а) Вероятность, что купюры останутся в обоих автоматах:

Это означает, что купюры не закончились ни в одном из банкоматов. Сначала найдем вероятность, что купюры закончились хотя бы в одном банкомате:

\[P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.1 + 0.3 - 0.06 = 0.34\]

Тогда вероятность, что купюры останутся в обоих банкоматах:

\[P(¬A ∩ ¬B) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0.34 = 0.66\]

б) Вероятность, что купюры останутся хотя бы в одном автомате:

Это противоположное событие тому, что купюры закончились в обоих автоматах, то есть:

\[P(¬(A ∩ B)) = 1 - P(A ∩ B) = 1 - 0.06 = 0.94\]

в) Вероятность, что купюры закончатся хотя бы в одном автомате:

Как уже было рассчитано в пункте (а):

\[P(A ∪ B) = 0.34\]

г) Вероятность, что купюры закончатся только во втором банкомате, а в первом останутся:

Это означает, что купюры закончились во втором банкомате, но не закончились в первом.

\[P(¬A ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B) = 0.3 - 0.06 = 0.24\]

д) Вероятность, что купюры закончатся только в первом банкомате, а во втором останутся:

Это означает, что купюры закончились в первом банкомате, но не закончились во втором.

\[P(A ∩ ¬B) = P(A) - P(A ∩ B) = 0.1 - 0.06 = 0.04\]

Ответ:

• а) 0.66


• б) 0.94


• в) 0.34


• г) 0.24


• д) 0.04

Проверка за 10 секунд: Убедись, что общая вероятность не превышает 1 и что ты правильно вычел пересечения событий!

Уровень эксперт: Всегда полезно визуализировать вероятности с помощью диаграмм Венна, чтобы лучше понимать взаимосвязи между событиями.