6. Известно, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза меньше другой, а площадь ромба равна 37,5 см².

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Обозначим диагонали ромба как d1 и d2. Тогда площадь S вычисляется по формуле: $$S = \frac{1}{2}d_1d_2$$. Известно, что одна из диагоналей в 1,5 раза меньше другой, то есть: $$d_1 = 1,5d_2$$. Площадь ромба S = 37,5 см².

$$37,5 = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2}(1,5d_2)d_2$$

$$37,5 = \frac{1}{2} \cdot 1,5 \cdot d_2^2$$

$$37,5 = 0,75d_2^2$$

$$d_2^2 = \frac{37,5}{0,75} = 50$$

$$d_2 = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ см}$$.

$$d_1 = 1,5d_2 = 1,5 \cdot 5\sqrt{2} = 7,5\sqrt{2} \approx 10,61 \text{ см}$$.

Ответ: d1 ≈ 10,61 см, d2 ≈ 7,07 см