590. Известно, что сумма квадратов корней уравнения x² - 3x + a = 0 равна 65. Найдите а.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни квадратного уравнения $$x^2 - 3x + a = 0$$. По условию, $$x_1^2 + x_2^2 = 65$$. Преобразуем это выражение:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 65$$.

Согласно теореме Виета, сумма корней $$x_1 + x_2 = 3$$, а произведение $$x_1 \cdot x_2 = a$$.

Тогда $$3^2 - 2a = 65$$, $$9 - 2a = 65$$, $$-2a = 56$$, $$a = -28$$.

Ответ: a = -28