589. Разность квадратов корней уравнения x³ + 2x + q = 0 равна 12. Найдите q.

Здесь опечатка в условии, должно быть $$x^2 + 2x + q = 0$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ – корни квадратного уравнения $$x^2 + 2x + q = 0$$. По условию, $$x_1^2 - x_2^2 = 12$$. Разложим разность квадратов: $$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 12$$.

Согласно теореме Виета, сумма корней $$x_1 + x_2 = -2$$. Тогда $$(x_1 - x_2)(-2) = 12$$, откуда $$x_1 - x_2 = -6$$.

Сложим два уравнения:

$$\begin{cases} x_1 - x_2 = -6 \\ x_1 + x_2 = -2 \end{cases}$$

$$2x_1 = -8$$, $$x_1 = -4$$. Тогда $$x_2 = -2 - x_1 = -2 - (-4) = 2$$.

Произведение корней $$x_1 \cdot x_2 = q$$. Значит, $$q = -4 \cdot 2 = -8$$.

Ответ: q = -8