5. Известно, что (x; y) - решение системы уравнений \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 3 \\ x + y = 29 \end{cases} Найдите значение выражения 2x - 3y

Решение: Пусть \(\sqrt{x} = a\) и \(\sqrt{y} = b\). Тогда \(x = a^2\) и \(y = b^2\). Система уравнений примет вид: \begin{cases} a - b = 3 \\ a^2 + b^2 = 29 \end{cases} Выразим a из первого уравнения: \(a = b + 3\). Подставим во второе уравнение: \((b + 3)^2 + b^2 = 29\) \(b^2 + 6b + 9 + b^2 = 29\) \(2b^2 + 6b - 20 = 0\) \(b^2 + 3b - 10 = 0\) Решаем квадратное уравнение: \(D = 3^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49\) \(b_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(b_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5\) Так как \(\sqrt{y} = b\), то b не может быть отрицательным, поэтому \(b = 2\). Тогда \(a = b + 3 = 2 + 3 = 5\). Значит, \(x = a^2 = 5^2 = 25\) и \(y = b^2 = 2^2 = 4\). Теперь найдем значение выражения 2x - 3y: \(2x - 3y = 2 * 25 - 3 * 4 = 50 - 12 = 38\) Ответ: 38