4. К источнику питания с ε = 6 Β и внутренним сопротивлением г = 0,5 Ом подключена внешняя нагрузка (см. рисунок). Общий ток в цепи І = 1 А, сопротивления R1 = R2 = 3 Ом. Найти сопротивление R3, КПД источника питания и мощности, выделяющиеся на каждом сопротивлении.

4. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться законами Ома и Кирхгофа, а также формулой для КПД источника.

Дано:

• ЭДС источника, $$\varepsilon$$ = 6 В;
• Внутреннее сопротивление, r = 0.5 Ом;
• Общий ток в цепи, I = 1 А;
• Сопротивления $$R_1 = R_2 = 3$$ Ом.

Найти:

• Сопротивление $$R_3$$;
• КПД источника, $$\eta$$;
• Мощности, выделяющиеся на каждом сопротивлении: $$P_1, P_2, P_3$$.

Решение:

Сначала найдем общее сопротивление внешней цепи $$R_{\text{внеш}}$$

Сопротивления $$R_1$$ и $$R_2$$ соединены параллельно, поэтому их общее сопротивление:

$$\frac{1}{R_{12}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{3 \text{ Ом}} + \frac{1}{3 \text{ Ом}} = \frac{2}{3 \text{ Ом}}$$ $$R_{12} = \frac{3}{2} \text{ Ом} = 1.5 \text{ Ом}$$

Общее сопротивление внешней цепи:

$$R_{\text{внеш}} = R_{12} + R_3$$

Применим закон Ома для полной цепи:

$$I = \frac{\varepsilon}{R_{\text{внеш}} + r} = \frac{\varepsilon}{R_{12} + R_3 + r}$$

Выразим $$R_3$$:

$$R_3 = \frac{\varepsilon}{I} - R_{12} - r = \frac{6 \text{ В}}{1 \text{ А}} - 1.5 \text{ Ом} - 0.5 \text{ Ом} = 6 \text{ Ом} - 1.5 \text{ Ом} - 0.5 \text{ Ом} = 4 \text{ Ом}$$

Теперь найдем КПД источника:

$$\eta = \frac{R_{\text{внеш}}}{R_{\text{внеш}} + r} = \frac{R_{12} + R_3}{R_{12} + R_3 + r} = \frac{1.5 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом}}{1.5 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом} + 0.5 \text{ Ом}} = \frac{5.5 \text{ Ом}}{6 \text{ Ом}} \approx 0.9167$$

Выразим КПД в процентах: $$\eta = 0.9167 \times 100\% = 91.67\%$$

Найдем токи $$I_1$$ и $$I_2$$ через сопротивления $$R_1$$ и $$R_2$$. Напряжение на параллельном участке $$R_{12}$$:

$$U_{12} = I \cdot R_{12} = (1 \text{ А})(1.5 \text{ Ом}) = 1.5 \text{ В}$$

Токи:

$$I_1 = \frac{U_{12}}{R_1} = \frac{1.5 \text{ В}}{3 \text{ Ом}} = 0.5 \text{ А}$$ $$I_2 = \frac{U_{12}}{R_2} = \frac{1.5 \text{ В}}{3 \text{ Ом}} = 0.5 \text{ А}$$

Мощности, выделяющиеся на каждом сопротивлении:

$$P_1 = I_1^2 R_1 = (0.5 \text{ А})^2 (3 \text{ Ом}) = 0.75 \text{ Вт}$$ $$P_2 = I_2^2 R_2 = (0.5 \text{ А})^2 (3 \text{ Ом}) = 0.75 \text{ Вт}$$ $$P_3 = I^2 R_3 = (1 \text{ А})^2 (4 \text{ Ом}) = 4 \text{ Вт}$$

Ответ: $$R_3 = 4$$ Ом, $$\eta = 91.67\%$$, $$P_1 = 0.75$$ Вт, $$P_2 = 0.75$$ Вт, $$P_3 = 4$$ Вт