Для определения падежа прилагательного необходимо определить падеж существительного, к которому оно относится.
1. Определим падеж существительного «берёзе».
2. «К чему?»: к берёзе — дательный падеж.
3. Значит, и прилагательное стоит в дательном падеже.
4. Прилагательное в дательном падеже, единственном числе, женском роде имеет окончание -ой или -ей.
5. Подберём подходящее окончание.
к молодой берёзе (Д. п.)
Ответ: к молодой берёзе (Д. п.)