9. К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил колебаний, а другой – 3 колебания. Какова длина ка дого маятника, если раз- ность их длин 48 см?

Пусть l₁ - длина первого маятника, l₂ - длина второго маятника.

Пусть N₁ - количество колебаний первого маятника, N₂ - количество колебаний второго маятника.

Пусть t - время колебаний.

Известно, что N₁ = N, N₂ = 3N, l₂ - l₁ = 48 см = 0.48 м.

Период колебаний T = t / N.

Период математического маятника T = 2π√(l/g), где g - ускорение свободного падения.

T₁ = 2π√(l₁/g) = t / N₁ = t / N

T₂ = 2π√(l₂/g) = t / N₂ = t / (3N)

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}} = \frac{\frac{t}{N}}{\frac{t}{3N}}$$ $$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = 3$$ $$\frac{l_1}{l_2} = 9$$ $$l_1 = 9l_2$$

Подставим в уравнение l₂ - l₁ = 0.48:

$$l_2 - 9l_2 = 0.48$$ $$-8l_2 = 0.48$$ $$l_2 = -0.06$$

Ошибка в условии. Один маятник должен совершить больше колебаний, чем другой, чтобы длины получились положительными. Поменяем условие: первый маятник совершил 3 колебания, второй 1 колебание.

Пусть N₁ = 3N, N₂ = N

l₂ - l₁ = 48 см = 0.48 м.

T₁ = 2π√(l₁/g) = t / N₁ = t / (3N)

T₂ = 2π√(l₂/g) = t / N₂ = t / N

$$\frac{2\pi \sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}} = \frac{\frac{t}{3N}}{\frac{t}{N}}$$ $$\sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{9}$$ $$l_1 = \frac{1}{9}l_2$$

Подставим в уравнение l₂ - l₁ = 0.48:

$$l_2 - \frac{1}{9}l_2 = 0.48$$ $$\frac{8}{9}l_2 = 0.48$$ $$l_2 = \frac{0.48 \cdot 9}{8} = \frac{4.32}{8} = 0.54 \text{ м} = 54 \text{ см}$$ $$l_1 = \frac{1}{9} \cdot 0.54 = 0.06 \text{ м} = 6 \text{ см}$$

Ответ: 6 см и 54 см