Какие из следующих утверждений верны? 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. 3) Треугольник АВС, у которого АВ = 5, BC = 6, АС = 7, является остроугольным. 4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

Краткое пояснение:

Для ответа на вопрос необходимо вспомнить теорему косинусов, теорему Пифагора, признаки остроугольного треугольника и свойства прямоугольного треугольника.

1. Утверждение 1 неверно. Это определение квадрата стороны через удвоенное произведение других сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов).
2. Утверждение 2 верно. По теореме Пифагора, гипотенуза равна $$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$.
3. Утверждение 3 неверно. Проверим углы: $$5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 < 7^2 = 49$$ - неверно. $$5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74 > 6^2 = 36$$. $$6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85 > 5^2 = 25$$. Треугольник остроугольный, так как квадрат самой большой стороны (7) меньше суммы квадратов двух других сторон (5 и 6), $$49 < 25 + 36 = 61$$.
4. Утверждение 4 верно. Это прямое следствие теоремы Пифагора.

Ответ: 24