494. Какой одночлен надо возвести в квадрат (в куб), чтобы одночлен: а) ху¹²; б) 1 000 000m¹⁸?

Решим данное задание.

а) Чтобы получить одночлен $$ху^{12}$$ в квадрате, нужно найти такое выражение, которое при возведении в квадрат даст $$ху^{12}$$. Для этого извлекаем квадратный корень из каждого множителя:

• Корень из $$x$$ это $$x^{1/2}$$ или $$\sqrt{x}$$.
• Корень из $$y^{12}$$ это $$y^6$$, так как $$(y^6)^2 = y^{12}$$.

Таким образом, искомый одночлен $$\sqrt{x}y^6$$.

Чтобы получить одночлен $$ху^{12}$$ в кубе, нужно найти такое выражение, которое при возведении в куб даст $$ху^{12}$$. Для этого извлекаем кубический корень из каждого множителя:

• Корень третьей степени из $$x$$ это $$x^{1/3}$$ или $$\sqrt[3]{x}$$.
• Корень третьей степени из $$y^{12}$$ это $$y^4$$, так как $$(y^4)^3 = y^{12}$$.

Таким образом, искомый одночлен $$\sqrt[3]{x}y^4$$.

б) Чтобы получить одночлен $$1 000 000m^{18}$$ в квадрате, нужно найти такое выражение, которое при возведении в квадрат даст $$1 000 000m^{18}$$. Для этого извлекаем квадратный корень из каждого множителя:

• Корень из $$1 000 000$$ это $$1000$$, так как $$1000^2 = 1 000 000$$.
• Корень из $$m^{18}$$ это $$m^9$$, так как $$(m^9)^2 = m^{18}$$.

Таким образом, искомый одночлен $$1000m^9$$.

Чтобы получить одночлен $$1 000 000m^{18}$$ в кубе, нужно найти такое выражение, которое при возведении в куб даст $$1 000 000m^{18}$$. Для этого извлекаем кубический корень из каждого множителя:

• Корень третьей степени из $$1 000 000$$ это $$100$$, так как $$100^3 = 1 000 000$$.
• Корень третьей степени из $$m^{18}$$ это $$m^6$$, так как $$(m^6)^3 = m^{18}$$.

Таким образом, искомый одночлен $$100m^6$$.

Ответ: а) в квадрате: $$\sqrt{x}y^6$$, в кубе: $$\sqrt[3]{x}y^4$$; б) в квадрате: $$1000m^9$$, в кубе: $$100m^6$$