Карточка №6. 4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB, и ∠ACD = 80°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как \(AB\parallel CD\), угол между AC и AB равен \(\angle ACD=80°\). В треугольнике ABC диагональ \(AC=2AB\). Обозначим \(\angle ACB=x\); тогда \(\angle ABC=100°-x\).

По теореме синусов в треугольнике ABC:

\(\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sin(100°-x)}{\sin x}=2\), откуда \(\sin(100°-x)=2\sin x\).

Это условие допускает два значения: \(x\approx25.7°\) или \(x\approx154.3°\), причём второе невозможно для угла треугольника ABC вместе с углом 80°. Поэтому \(x\approx25.7°\), а угол B равен приблизительно \(74.3°\).

Из указанного недостаточно данных, чтобы однозначно определить угол между диагоналями: он зависит также от соотношения сторон параллелограмма. При заданных условиях возможны разные параллелограммы, поэтому требуется дополнительное условие либо уточнение чертежа.