Касательные в точках A и B окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник OAPB, где P — точка пересечения касательных. Углы OAP и OBP равны 90°, так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

\( \angle AOB + \angle OAP + \angle APB + \angle OBP = 360° \)

\( \angle AOB + 90° + 72° + 90° = 360° \)

\( \angle AOB + 252° = 360° \)

\( \angle AOB = 360° - 252° = 108° \)

Рассмотрим треугольник OAB. Он равнобедренный, так как OA = OB (радиусы).

Сумма углов в треугольнике OAB равна 180°.

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180° \)

\( \angle OAB = \angle OBA \)

\( 2 \cdot \angle OBA + 108° = 180° \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 180° - 108° \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 72° \)

\( \angle OBA = 72° / 2 = 36° \)

Ответ: 36