Катер прошел по течению реки 30 км и 24 км против течения за 9 ч. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

Пусть \(v\) — собственная скорость катера (в км/ч). Скорость катера по течению равна \(v + 3\), а против течения \(v - 3\). Время, затраченное на путь по течению, равно \(\frac{30}{v + 3}\), а против течения \(\frac{24}{v - 3}\). Общее время равно 9 часам:
\(\frac{30}{v + 3} + \frac{24}{v - 3} = 9\)

1. **Приведём к общему знаменателю и упростим:**
\(\frac{30(v - 3) + 24(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 9\)
\(\frac{30v - 90 + 24v + 72}{v^2 - 9} = 9\)
\(\frac{54v - 18}{v^2 - 9} = 9\)

2. **Умножим обе части на \(v^2 - 9\):**
\(54v - 18 = 9(v^2 - 9)\)
\(54v - 18 = 9v^2 - 81\)

3. **Перенесём всё в одну часть и получим квадратное уравнение:**
\(9v^2 - 54v - 63 = 0\)

4. **Разделим на 9:**
\(v^2 - 6v - 7 = 0\)

5. **Решим квадратное уравнение:**
\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\)
\(v_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}\)
\(v_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7\) и \(v_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1\). Отрицательная скорость не имеет физического смысла.

**Ответ:** Собственная скорость катера равна 7 км/ч.