Катер прошел расстояние между пристанями по течению реки за 4 часа, а обратно за 6 часов 40 минут. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Решение:

Пусть \( v_к \) — собственная скорость катера (км/ч), а \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч). Скорость течения дана: \( v_т = 2 \) км/ч.

Скорость катера по течению: \( v_{по \: течением} = v_к + v_т = v_к + 2 \) (км/ч).

Скорость катера против течения: \( v_{против \: течения} = v_к - v_т = v_к - 2 \) (км/ч).

Время движения по течению: \( t_{по \: течением} = 4 \) часа.

Время движения против течения: \( t_{против \: течения} = 6 \) часов 40 минут. Переведём 40 минут в часы: \( 40 \) мин \( = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \) часа. Значит, \( t_{против \: течения} = 6 + \frac{2}{3} = \frac{18+2}{3} = \frac{20}{3} \) часа.

Расстояние между пристанями обозначим как \( S \). Расстояние равно скорости, умноженной на время.

По течению: \( S = (v_к + 2) \cdot 4 \) (1)

Против течения: \( S = (v_к - 2) \cdot \frac{20}{3} \) (2)

Поскольку расстояние \( S \) одинаково, приравняем уравнения (1) и (2):

\[ 4(v_к + 2) = \frac{20}{3}(v_к - 2) \]

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 12(v_к + 2) = 20(v_к - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 12v_к + 24 = 20v_к - 40 \]

Перенесём члены с \( v_к \) в правую часть, а числа — в левую:

\[ 24 + 40 = 20v_к - 12v_к \]

\[ 64 = 8v_к \]

Найдём \( v_к \):

\[ v_к = \frac{64}{8} = 8 \]

Собственная скорость катера равна 8 км/ч.

Ответ: 8 км/ч.