5. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 КМ/Ч.

Пусть собственная скорость катера равна x км/ч.

Время, которое катер затратил на путь против течения реки: t₁ = 12/(x-3).

Время, которое катер затратил на путь по течению реки: t₂ = 5/(x+3).

Время, которое катер затратил бы на путь по озеру: t₃ = 18/x.

Таким образом, получаем уравнение:

$$\frac{12}{x-3} + \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x}$$

Умножим обе части уравнения на x(x-3)(x+3), чтобы избавиться от знаменателей:

$$12x(x+3) + 5x(x-3) = 18(x-3)(x+3)$$ $$12x^2 + 36x + 5x^2 - 15x = 18(x^2-9)$$ $$17x^2 + 21x = 18x^2 - 162$$ $$x^2 - 21x - 162 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21+33}{2} = 27$$ $$x_2 = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21-33}{2} = -6$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому x = 27 км/ч.

Ответ: 27 км/ч