рольная работа Дробно рациональные уравнения» 2 вариант x²+4 5x 1. = x-1 x-1 2. 3x+2 = 1 x+2 x-2 3. 3x-2 1 3x+4 x 2-x x²-2x

Решим уравнения.

1.

$$\frac{x^2+4}{x-1} = \frac{5x}{x-1}$$

Умножим обе части уравнения на (x-1), чтобы избавиться от знаменателя:

$$x^2+4 = 5x$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$$x^2-5x+4 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5+3}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5-3}{2} = 1$$

Проверим корни:

x=4:

$$\frac{4^2+4}{4-1} = \frac{5 \cdot 4}{4-1}$$ $$\frac{20}{3} = \frac{20}{3}$$

Корень подходит.

x=1:

$$\frac{1^2+4}{1-1} = \frac{5 \cdot 1}{1-1}$$

Деление на ноль, корень не подходит.

2.

$$\frac{3x}{x+2} + \frac{2}{x-2} = 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{3x(x-2)+2(x+2)}{(x+2)(x-2)} = 1$$ $$\frac{3x^2-6x+2x+4}{x^2-4} = 1$$ $$\frac{3x^2-4x+4}{x^2-4} = 1$$ $$3x^2-4x+4 = x^2-4$$ $$2x^2-4x+8 = 0$$ $$x^2-2x+4 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$$

Дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

3.

$$\frac{3x-2}{x} - \frac{1}{2-x} = \frac{3x+4}{x^2-2x}$$ $$\frac{3x-2}{x} + \frac{1}{x-2} = \frac{3x+4}{x(x-2)}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(3x-2)(x-2)+x}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)}$$ $$\frac{3x^2-6x-2x+4+x}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)}$$ $$\frac{3x^2-7x+4}{x(x-2)} = \frac{3x+4}{x(x-2)}$$ $$3x^2-7x+4 = 3x+4$$ $$3x^2-10x = 0$$ $$x(3x-10) = 0$$ $$x_1 = 0$$ $$3x-10 = 0$$ $$x = \frac{10}{3}$$

Проверим корни:

x=0:

Деление на ноль, корень не подходит.

x=10/3:

Подходит.

Ответ: x=4; нет решений; x=10/3