Контрольная работа « Дробно рациональные уравнения» 1 вариант x²-6 X 1.- = x-3 x-3 2. 4 5 = - 9-1 3x+1 1-3x 3. 2x-2 x+3 = 5 x+3 x-3

Решим уравнения.

1.

$$\frac{x^2-6}{x-3} = \frac{x}{x-3}$$

Умножим обе части уравнения на (x-3), чтобы избавиться от знаменателя:

$$x^2-6 = x$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$$x^2-x-6 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1+5}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1-5}{2} = -2$$

Проверим корни:

x=3:

$$\frac{3^2-6}{3-3} = \frac{3}{3-3}$$

Деление на ноль, корень не подходит.

x=-2:

$$\frac{(-2)^2-6}{-2-3} = \frac{-2}{-2-3}$$ $$\frac{4-6}{-5} = \frac{-2}{-5}$$ $$\frac{-2}{-5} = \frac{-2}{-5}$$

Корень подходит.

2.

$$\frac{4}{9x^2-1} = \frac{4}{3x+1} - \frac{5}{1-3x}$$ $$\frac{4}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{4}{3x+1} + \frac{5}{3x-1}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{4}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{4(3x-1)+5(3x+1)}{(3x-1)(3x+1)}$$ $$\frac{4}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{12x-4+15x+5}{(3x-1)(3x+1)}$$ $$\frac{4}{(3x-1)(3x+1)} = \frac{27x+1}{(3x-1)(3x+1)}$$ $$4 = 27x+1$$ $$27x = 3$$ $$x = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$$

3.

$$\frac{2x-2}{x+3} + \frac{x+3}{x-3} = 5$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{(2x-2)(x-3)+(x+3)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = 5$$ $$\frac{2x^2-6x-2x+6+x^2+6x+9}{x^2-9} = 5$$ $$\frac{3x^2-2x+15}{x^2-9} = 5$$ $$3x^2-2x+15 = 5(x^2-9)$$ $$3x^2-2x+15 = 5x^2-45$$ $$2x^2+2x-60 = 0$$ $$x^2+x-30 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1+11}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1-11}{2} = -6$$

Ответ: x=-2; x=1/9; x=5; x=-6