15. Катер прошёл по течению реки 32 км, повернув обратно, он прошёл ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть x - собственная скорость катера.

Время, которое катер шёл по течению реки, равно $$\frac{32}{x+5}$$.

Время, которое катер шёл против течения реки, равно $$\frac{24}{x-5}$$.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 4 часа.

Составим уравнение:

$$\frac{32}{x+5} + \frac{24}{x-5} = 4$$

Умножим обе части уравнения на (x+5)(x-5):

$$32(x-5) + 24(x+5) = 4(x^2-25)$$

$$32x - 160 + 24x + 120 = 4x^2 - 100$$

$$56x - 40 = 4x^2 - 100$$

$$4x^2 - 56x - 60 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 4:

$$x^2 - 14x - 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4(1)(-15)}}{2(1)} = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 60}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{14 \pm 16}{2}$$

$$x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то выбираем x = 15.

Ответ: 15