Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 74. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$, где $$AB$$ - катет, $$AC$$ - гипотенуза. $$AB = 24$$, $$AC = 74$$. Нужно найти высоту, проведенную к гипотенузе, то есть $$BH$$, где $$H$$ - точка на $$AC$$.

По теореме Пифагора найдем катет $$BC$$.

$$BC^2 = AC^2 - AB^2$$

$$BC^2 = 74^2 - 24^2 = (74 - 24)(74 + 24) = 50 \cdot 98 = 4900$$

$$BC = \sqrt{4900} = 70$$

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$

$$\frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 70 = \frac{1}{2} \cdot 74 \cdot BH$$

$$24 \cdot 70 = 74 \cdot BH$$

$$BH = \frac{24 \cdot 70}{74} = \frac{1680}{74} = \frac{840}{37}$$

$$BH = 22 \frac{26}{37}$$

Ответ: $$\frac{840}{37}$$