Решите неравенство \frac{14}{x^2 + 5x-14} \le 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Сначала найдем корни знаменателя:

$$x^2 + 5x - 14 = 0$$

$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$$

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Знаменатель обращается в нуль при $$x = 2$$ и $$x = -7$$.

Решим неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки $$-7$$ и $$2$$, в которых знаменатель обращается в нуль.

---------------------(-7)---------------------(2)-------------------->

Определим знаки на каждом интервале, подставив число из каждого интервала в знаменатель:

• Интервал $$(-\infty; -7)$$: подставим $$x = -8$$: $$(-8)^2 + 5 \cdot (-8) - 14 = 64 - 40 - 14 = 10 > 0$$
• Интервал $$(-7; 2)$$: подставим $$x = 0$$: $$0^2 + 5 \cdot 0 - 14 = -14 < 0$$
• Интервал $$(2; +\infty)$$: подставим $$x = 3$$: $$3^2 + 5 \cdot 3 - 14 = 9 + 15 - 14 = 10 > 0$$

Так как числитель положителен (14), то знак дроби определяется знаком знаменателя.

Неравенство $$\frac{14}{x^2 + 5x-14} \le 0$$ выполняется на интервале, где знаменатель отрицателен, т.е. при $$x \in (-7; 2)$$.

Ответ: $$x \in (-7; 2)$$