Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции ABCD, а ЕС = ED. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Пусть $$ABCD$$ - трапеция, где $$BC \parallel AD$$. Точка $$E$$ - середина $$AB$$, $$EC = ED$$. Нужно доказать, что трапеция $$ABCD$$ прямоугольная.

Проведем медиану $$EF$$ в треугольнике $$AEB$$, где $$F$$ - точка на $$CD$$. Тогда $$EF$$ - серединный перпендикуляр к $$CD$$ и $$AB$$. Рассмотрим треугольники $$\triangle EDC$$ и $$\triangle ECB$$:

• $$EC = ED$$ (по условию), следовательно, $$\triangle EDC$$ - равнобедренный, а значит, $$\angle ECD = \angle EDC$$.
• $$EC = ED$$ (по условию), следовательно, $$\triangle ECB$$ - равнобедренный, а значит, $$\angle ECB = \angle EBC$$.

Поскольку $$E$$ - середина $$AB$$, то $$AE = EB$$. Так как $$EC = ED$$, то $$\triangle AED = \triangle BEC$$, а значит, $$\angle EAD = \angle EBC$$.

В трапеции $$ABCD$$ углы при основаниях равны: $$\angle A = \angle B$$, $$\angle C = \angle D$$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°: $$\angle A + \angle D = 180^\circ$$ и $$\angle B + \angle C = 180^\circ$$

Так как $$\angle A = \angle B$$, то $$\angle A + \angle C = 180^\circ$$

Из этого следует, что $$\angle A = \angle B = 90^\circ$$, и $$\angle C = \angle D = 90^\circ$$

Следовательно, трапеция $$ABCD$$ прямоугольная.