Середина М стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите ВС, если AD = 10, а углы С и D четырёхугольника равны соответственно 110° и 65°.

Т.к. точка $$M$$ равноудалена от всех вершин четырехугольника $$ABCD$$, то она является центром окружности, описанной около этого четырехугольника.

$$AM = MD = BM = CM$$

Т.к. $$M$$ - середина $$AD$$, то $$AM = MD = \frac{AD}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Значит, $$BM = CM = 5$$

Рассмотрим треугольник $$AMD$$. Т.к. $$AM = BM$$, то $$\triangle AMB$$ - равнобедренный, и $$\angle MAB = \angle MBA = \alpha$$.

В четырехугольнике $$ABCD$$ известны $$\angle C = 110^\circ$$ и $$\angle D = 65^\circ$$. Т.к. четырехугольник вписан в окружность, то $$\angle B = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$

$$\angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

В $$\triangle AMB: \angle AMB = 180^\circ - 2 \alpha = 180^\circ - 2 \cdot 70^\circ = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$$

$$\angle CMB = \angle AMB - \angle AMC = 115^\circ - 40^\circ = 75^\circ$$

Применим теорему косинусов к треугольнику $$BMC$$:

$$BC^2 = BM^2 + CM^2 - 2 \cdot BM \cdot CM \cdot cos \angle CMB$$

$$BC^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot cos 75^\circ$$

$$BC^2 = 25 + 25 - 50 \cdot cos 75^\circ$$

$$BC^2 = 50 - 50 \cdot cos 75^\circ \approx 50 - 50 \cdot 0.2588 \approx 50 - 12.94 \approx 37.06$$

$$BC = \sqrt{37.06} \approx 6.0877 \approx 6.1$$

Ответ: 6.1