681 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

1. Обозначим катеты как $$3x$$ и $$4x$$. По теореме Пифагора, $$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$$. Решаем уравнение: $$9x^2 + 16x^2 = 2500$$, $$25x^2 = 2500$$, $$x^2 = 100$$, $$x = 10$$. Значит, катеты равны 30 мм и 40 мм. 2. Площадь треугольника равна $$\frac{1}{2} * 30 * 40 = 600$$ кв. мм. 3. Высота, опущенная на гипотенузу, $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 * 600}{50} = 24$$ мм. 4. Пусть $$a_c$$ и $$b_c$$ - отрезки, на которые высота делит гипотенузу. Тогда $$a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{30^2}{50} = 18$$ мм, $$b_c = \frac{b^2}{c} = \frac{40^2}{50} = 32$$ мм. Ответ: Отрезки равны 18 мм и 32 мм.