684 Используя утверждение 20, п. 71, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С выполняется равенство АС^2 + BC^2 = AB^2.

Для доказательства теоремы Пифагора с использованием утверждения 20, п. 71, которого нет в предоставленном контексте, обычно используется подобие треугольников, образованных высотой, опущенной из вершины прямого угла. Предположим, что утверждение 20 касается свойств подобных треугольников, образованных высотой, опущенной на гипотенузу. Пусть СD - высота, опущенная на гипотенузу АВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть a = BC, b = AC и c = AB. Высота CD делит треугольник ABC на два меньших треугольника: ACD и BCD, оба подобных треугольнику ABC. 1. Треугольник ACD подобен треугольнику ABC. Значит, \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC}, или \frac{b}{c} = \frac{AD}{b}. Отсюда, AD = \frac{b^2}{c}. 2. Треугольник BCD подобен треугольнику ABC. Значит, \frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC}, или \frac{a}{c} = \frac{BD}{a}. Отсюда, BD = \frac{a^2}{c}. 3. Известно, что AD + BD = AB, то есть \frac{b^2}{c} + \frac{a^2}{c} = c. 4. Умножим обе части уравнения на c: $$b^2 + a^2 = c^2$$, что и требовалось доказать: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$. Ответ: Теорема Пифагора доказана с использованием подобия треугольников, образованных высотой, опущенной из прямого угла.