32.26 Каждый из двух прямоугольников имеет периметр 122 см. Длина первого прямоугольника больше длины второго на 5 см, а пло- щадь второго прямоугольника на 120 см³ больше площади перво- го. Найдите площадь каждого прямоугольника.

Обозначим длину первого прямоугольника как $$a_1$$, ширину первого прямоугольника как $$b_1$$, длину второго прямоугольника как $$a_2$$, ширину второго прямоугольника как $$b_2$$.

Периметр каждого прямоугольника равен 122 см:

$$2(a_1 + b_1) = 122$$

$$2(a_2 + b_2) = 122$$

Длина первого прямоугольника больше длины второго на 5 см:

$$a_1 = a_2 + 5$$

Площадь второго прямоугольника на 120 см² больше площади первого:

$$a_2b_2 = a_1b_1 + 120$$

Тогда можем переписать как:

$$\begin{cases} a_1 + b_1 = 61 \\ a_2 + b_2 = 61 \\ a_1 = a_2 + 5 \\ a_2b_2 = a_1b_1 + 120 \end{cases}$$

Выразим $$b_1$$ и $$b_2$$ через $$a_1$$ и $$a_2$$ соответственно:

$$b_1 = 61 - a_1$$ $$b_2 = 61 - a_2$$

Подставим $$a_1 = a_2 + 5$$ в $$b_1 = 61 - a_1$$:

$$b_1 = 61 - (a_2 + 5) = 56 - a_2$$

Подставим всё в $$a_2b_2 = a_1b_1 + 120$$:

$$a_2(61 - a_2) = (a_2+5)(56-a_2) + 120$$ $$61a_2 - a_2^2 = 56a_2 - a_2^2 + 280 - 5a_2 + 120$$ $$61a_2 - a_2^2 = 51a_2 - a_2^2 + 400$$ $$10a_2 = 400$$ $$a_2 = 40$$

Тогда:

$$b_2 = 61 - a_2 = 61 - 40 = 21$$ $$a_1 = a_2 + 5 = 40 + 5 = 45$$ $$b_1 = 61 - a_1 = 61 - 45 = 16$$

Площади прямоугольников:

$$S_1 = a_1b_1 = 45 \cdot 16 = 720$$ $$S_2 = a_2b_2 = 40 \cdot 21 = 840$$

Проверим условие: $$S_2 = S_1 + 120$$

$$840 = 720 + 120$$ $$840 = 840$$

Ответ: Площадь первого прямоугольника равна 720 см², площадь второго прямоугольника равна 840 см².