82.27 Периметр прямоугольника равен 240 см. Если длину прямо- угольника уменьшить на 14 см, а ширину увеличить на 10 см, то его площадь увеличится на 4 см³. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть длина прямоугольника равна $$a$$ см, а ширина равна $$b$$ см.

Периметр прямоугольника равен 240 см, значит:

$$ 2(a+b) = 240 $$ $$ a+b = 120 $$

Площадь прямоугольника равна $$ab$$.

Если длину прямоугольника уменьшить на 14 см, то длина станет $$a-14$$ см. Если ширину увеличить на 10 см, то ширина станет $$b+10$$ см.

Площадь увеличится на 4 см², значит:

$$ (a-14)(b+10) = ab + 4 $$ $$ ab + 10a - 14b - 140 = ab + 4 $$ $$ 10a - 14b = 144 $$

Получили систему уравнений:

$$\begin{cases} a+b = 120 \\ 10a - 14b = 144 \end{cases}$$

Выразим $$a$$ из первого уравнения:

$$ a = 120 - b $$

Подставим во второе уравнение:

$$ 10(120-b) - 14b = 144 $$ $$ 1200 - 10b - 14b = 144 $$ $$ -24b = -1056 $$ $$ b = \frac{-1056}{-24} $$ $$ b = 44 $$

Тогда

$$ a = 120 - 44 = 76 $$

Ответ: 76 см и 44 см