45. Когда к пружине подвесили только первый груз, она удлинилась на 2 см, а когда к ней подвесили только второй груз, она удлинилась на 3 см. Период вертикальных колебаний какого груза на этой пружине будет больше? Насколько больше?

Пусть \(m_1\) - масса первого груза, \(m_2\) - масса второго груза, \(\Delta x_1\) - удлинение пружины под первым грузом, \(\Delta x_2\) - удлинение пружины под вторым грузом. Дано: \(\Delta x_1 = 2\) см = 0.02 м и \(\Delta x_2 = 3\) см = 0.03 м. Сила тяжести уравновешивается силой упругости: \(m_1g = k\Delta x_1\) и \(m_2g = k\Delta x_2\). Отсюда, \(m_1 = \frac{k\Delta x_1}{g}\) и \(m_2 = \frac{k\Delta x_2}{g}\). Период вертикальных колебаний определяется формулой \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\,\). Для первого груза: \(T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{k\Delta x_1}{gk}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta x_1}{g}}\,\). Для второго груза: \(T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{k\Delta x_2}{gk}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta x_2}{g}}\,\). Сравним периоды: \(\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2}} = \sqrt{\frac{0.02}{0.03}} = \sqrt{\frac{2}{3}} < 1\). Следовательно, \(T_2 > T_1\). Период колебаний второго груза больше. Найдем разность: \(T_2 - T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta x_2}{g}} - 2\pi\sqrt{\frac{\Delta x_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{g}}(\sqrt{\Delta x_2} - \sqrt{\Delta x_1}) = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9.8}}(\sqrt{0.03} - \sqrt{0.02}) \approx 2.007 \cdot (0.173 - 0.141) = 2.007 \cdot 0.032 = 0.064\) с. Ответ: период колебаний второго груза больше на 0.064 с.