42. Пока первый нитяной маятник совершает 50 колебаний, второй совершает 30 колебаний. Нить одного из маятников на 32 см длиннее нити другого. Чему равны длины нитей маятников?

Пусть \(l_1\) - длина первого маятника, \(l_2\) - длина второго маятника. \(t\) - время наблюдения. Количество колебаний \(N\) связано с периодом \(T\) и временем наблюдения \(t\) как \(N = \frac{t}{T}\). Период колебаний нитяного маятника \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\,\). Дано, что первый маятник совершает 50 колебаний, а второй - 30 колебаний за одно и то же время \(t\). Значит, \(50 = \frac{t}{T_1}\) и \(30 = \frac{t}{T_2}\). \(T_1 = \frac{t}{50}\) и \(T_2 = \frac{t}{30}\). Тогда \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}\). Также известно, что \(l_2 = l_1 + 32\). \(T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}\) и \(T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}\,\). \(\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \frac{3}{5}\). Возводим в квадрат: \(\frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{25}\). \(l_1 = \frac{9}{25}l_2\). Подставляем в \(l_2 = l_1 + 32\): \(l_2 = \frac{9}{25}l_2 + 32\). \(\frac{16}{25}l_2 = 32\). \(l_2 = 32 \cdot \frac{25}{16} = 50\) см. \(l_1 = 50 - 32 = 18\) см. Ответ: длины нитей маятников 18 см и 50 см.