41. Пока первый подвешенный к пружине груз совершает 50 колебаний, второй груз, подвешенный к такой же пружине, совершает 30 колебаний. Чему равны массы грузов, если масса одного из них на 160 г больше массы другого?

Пусть \(m_1\) - масса первого груза, \(m_2\) - масса второго груза. \(t\) - время наблюдения. Количество колебаний \(N\) связано с периодом \(T\) и временем наблюдения \(t\) как \(N = \frac{t}{T}\). Период колебаний \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\,\). Дано, что первый груз совершает 50 колебаний, а второй - 30 колебаний за одно и то же время \(t\). Значит, \(50 = \frac{t}{T_1}\) и \(30 = \frac{t}{T_2}\). \(T_1 = \frac{t}{50}\) и \(T_2 = \frac{t}{30}\). Тогда \(\frac{T_1}{T_2} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}\). Также известно, что \(m_2 = m_1 + 160\). \(T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}\) и \(T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}\,\). \(\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \frac{3}{5}\). Возводим в квадрат: \(\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{25}\). \(m_1 = \frac{9}{25}m_2\). Подставляем в \(m_2 = m_1 + 160\): \(m_2 = \frac{9}{25}m_2 + 160\). \(\frac{16}{25}m_2 = 160\). \(m_2 = 160 \cdot \frac{25}{16} = 250\) г. \(m_1 = 250 - 160 = 90\) г. Ответ: массы грузов 90 г и 250 г.