Контрольная работа № 1. Четырёхугольники. Вариант 1. 5*. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A—B—K, D—C—P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке N, MN = 8 см. Найдите длину AD.

Обозначим \(BC=AD=b\), а угол параллелограмма при вершине B через \(\theta\). Возьмём координаты \(B=(0,0)\), \(C=(b,0)\), \(A=(a\cos\theta,a\sin\theta)\), где \(a=AB\). Тогда \(D=(a\cos\theta+b,a\sin\theta)\).

Биссектрисы углов при B и C пересекаются в точке \(M=(b/2,\,b\tan(\theta/2)/2)\). Углы \(KBC\) и \(BCP\) имеют биссектрисы с направлениями, симметричными относительно прямой BC; их пересечение — точка \(N=(b/2,\,-b\tan(\theta/2)/2)\).

Поэтому \(MN=b\tan(\theta/2)\). Из \(MN=8\) следует \(AD=b=8/\tan(\theta/2)\), и длина зависит от угла \(\theta\), который в условии не задан.

Например, при \(\theta=90^\circ\) получается \(AD=8\) см, а при \(\theta=60^\circ\) — \(AD=8\sqrt{3}\) см; в обоих случаях можно выбрать параллелограмм с заданным \(MN=8\) см. Значит, по приведённым данным длина \(AD\) однозначно не определяется. Вероятно, в условии пропущено дополнительное условие.