Контрольная работа № 1. Векторы. 2 вариант. 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P такая, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.

Положим \(B\) в начало координат. Тогда \(\overrightarrow{BA}=\vec x\), \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\). Центр квадрата — середина диагонали \(BD\), поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).

Так как \(P\) — середина \(CD\), а \(\overrightarrow{CD}=\vec x\), имеем \(\overrightarrow{BP}=\vec y+\frac12\vec x\).

Тогда \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\vec y+\frac12\vec x)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).