Левая колонка, № 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон.

Пусть стороны параллелограмма — векторы a и b, а диагональ-высота равна a + b и перпендикулярна стороне a. Тогда (a + b) · a = 0, следовательно, a · b = −|a|².

Диагональ не может равняться стороне a: из равенства |a + b| = |a| и условия a · b = −|a|² получилось бы |b|² = 0. Значит, диагональ равна другой стороне b.

Из |a + b|² = |b|² следует |a|² + 2(a · b) = 0, то есть |b|² = 2|a|². Поэтому косинус угла между сторонами равен −1/√2, а угол между ними — 135°. Второй угол параллелограмма равен 180° − 135° = 45°.

Ответ: 45° и 135°.