Левая колонка, № 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB. ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Считаем основаниями трапеции AD и BC, поэтому AD ∥ BC.

В прямоугольном треугольнике ABD угол B равен 90°, а угол D равен 30°. Если AD = x, то AB = x/2 и BD = (√3/2)x.

Так как AD ∥ BC, угол DBC равен ∠ADB, то есть 30°. Вместе с ∠BDC = 30° это даёт в треугольнике BCD равные стороны BC = CD. По теореме синусов BC = BD/√3 = x/2, значит CD = x/2.

Периметр: x + x/2 + x/2 + x/2 = 60, откуда 5x/2 = 60 и x = 24.

Ответ: 24 см.