Правая колонка, № 4. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.

Считаем основаниями трапеции AD и BC, поэтому AD ∥ BC.

В прямоугольном треугольнике ACD угол C равен 90°, угол D равен 60°, следовательно, угол CAD равен 30°. Диагональ AC — биссектриса угла A, поэтому угол BAC также равен 30°.

Поскольку AD ∥ BC, угол ACB равен углу CAD, то есть 30°. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный и AB = BC.

Обозначим CD = x. В треугольнике ACD с углами 30°, 60° и 90° получаем AD = 2x и AC = √3x. В равнобедренном треугольнике ABC с углами при A и C по 30° имеем AB = BC = AC/√3 = x.

Периметр равен 2x + x + x + x = 5x = 35, откуда x = 7. Значит, AB = 7 см.

Ответ: 7 см.