Лежат ли точки А, В, С и D в одной плоскости, если A(3;5;-4), B(1;-1;-3), C(7;-2;-6) и D(-1;3;-2)?

Решение:

1. Найдем векторы, исходящие из одной точки, например, из точки А:

   rAB = {1-3; -1-5; -3-(-4)} = {-2; -6; 1}

   rAC = {7-3; -2-5; -6-(-4)} = {4; -7; -2}

   rAD = {-1-3; 3-5; -2-(-4)} = {-4; -2; 2}

2. Вычислим смешанное произведение этих векторов:

   (rAB rAC rAD) = |

   -2	-6	1
   4	-7	-2
   -4	-2	2

   |

   = -2 |

   -7	-2
   -2	2

   | - (-6) |

   4	-2
   -4	2

   | + 1 |

   4	-7
   -4	-2

   |

   = -2((-7)·2 - (-2)·(-2)) + 6(4·2 - (-2)·(-4)) + 1(4·(-2) - (-7)·(-4))

   = -2(-14 - 4) + 6(8 - 8) + 1(-8 - 28)

   = -2(-18) + 6(0) + 1(-36)

   = 36 + 0 - 36 = 0

Так как смешанное произведение векторов равно нулю, то векторы компланарны, и точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.

Ответ: Да, лежат