Найдите сумму длин всех медиан треугольника, заданного координатами своих вершин: А(2;4;5), B(-2;4;3), C(10;8;13).

Решение:

1. Найдем середины сторон треугольника:

   M (середина BC): x = (-2 + 10) / 2 = 4, y = (4 + 8) / 2 = 6, z = (3 + 13) / 2 = 8. M(4; 6; 8)

   N (середина AC): x = (2 + 10) / 2 = 6, y = (4 + 8) / 2 = 6, z = (5 + 13) / 2 = 9. N(6; 6; 9)

   P (середина AB): x = (2 + (-2)) / 2 = 0, y = (4 + 4) / 2 = 4, z = (5 + 3) / 2 = 4. P(0; 4; 4)

2. Найдем длины медиан (расстояния от вершин до середин противоположных сторон):

   AM: rAM = √((4-2)² + (6-4)² + (8-5)²) = √(2² + 2² + 3²) = √(4 + 4 + 9) = √17

   BN: rBN = √((6-(-2))² + (6-4)² + (9-3)²) = √(8² + 2² + 6²) = √(64 + 4 + 36) = √104

   CP: rCP = √((0-10)² + (4-8)² + (4-13)²) = √((-10)² + (-4)² + (-9)²) = √(100 + 16 + 81) = √197

3. Найдем сумму длин медиан:

   √17 + √104 + √197 ≈ 4.12 + 10.20 + 14.04 = 28.36

Ответ: √17 + √104 + √197 ≈ 28.36