8. log√7 14-1/3log√7 56 / log√6 30-1/2log√6 150;

Пусть $$log_{\sqrt{7}} 14 - \frac{1}{3} log_{\sqrt{7}} 56$$ - это числитель, а $$log_{\sqrt{6}} 30 - \frac{1}{2} log_{\sqrt{6}} 150$$ - знаменатель.

Для числителя:

$$log_{\sqrt{7}} 14 - \frac{1}{3} log_{\sqrt{7}} 56 = log_{\sqrt{7}} 14 - log_{\sqrt{7}} 56^{\frac{1}{3}} = log_{\sqrt{7}} \frac{14}{\sqrt[3]{56}} = log_{\sqrt{7}} \frac{14}{\sqrt[3]{8 \cdot 7}} = log_{\sqrt{7}} \frac{14}{2\sqrt[3]{7}} = log_{\sqrt{7}} \frac{7}{\sqrt[3]{7}} = log_{\sqrt{7}} 7^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} log_{\sqrt{7}} 7 = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$$.

Для знаменателя:

$$log_{\sqrt{6}} 30 - \frac{1}{2} log_{\sqrt{6}} 150 = log_{\sqrt{6}} 30 - log_{\sqrt{6}} (150)^{\frac{1}{2}} = log_{\sqrt{6}} \frac{30}{\sqrt{150}} = log_{\sqrt{6}} \frac{30}{\sqrt{25 \cdot 6}} = log_{\sqrt{6}} \frac{30}{5\sqrt{6}} = log_{\sqrt{6}} \frac{6}{\sqrt{6}} = log_{\sqrt{6}} \sqrt{6} = 1$$.

Теперь делим числитель на знаменатель:

$$\frac{\frac{4}{3}}{1} = \frac{4}{3}$$.

Ответ: $$\frac{4}{3}$$