13 { log2(x)+2log2(x)=3 x²+y4=16

В задании, вероятно, опечатка. Исправим второе выражение, предположив, что там y²:

$$\begin{cases}log_2(x) + 2log_2(y) = 3\\x^2 + y^4 = 16\end{cases}$$

Используем свойство логарифмов:

$$log_2(x) + log_2(y^2) = 3$$

$$log_2(xy^2) = 3$$

Тогда:

$$xy^2 = 2^3$$

$$xy^2 = 8$$

$$x = \frac{8}{y^2}$$

Подставим x во второе уравнение системы:

$$(\frac{8}{y^2})^2 + y^4 = 16$$

$$\frac{64}{y^4} + y^4 = 16$$

Умножим обе части на y⁴:

$$64 + y^8 = 16y^4$$

$$y^8 - 16y^4 + 64 = 0$$

Пусть $$z = y^4$$, тогда:

$$z^2 - 16z + 64 = 0$$

$$D = (-16)^2 - 4 mes 1 mes 64 = 256 - 256 = 0$$

$$z = \frac{16}{2} = 8$$

Значит, $$y^4 = 8$$

$$y = \pm \sqrt[4]{8} = \pm \sqrt{2\sqrt{2}}$$

Тогда:

$$x = \frac{8}{y^2} = \frac{8}{\sqrt{8}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

То есть, не зависимо от знака y, x будет один и тот же.

Проверим:

$$log_2(2\sqrt{2}) + 2log_2(\sqrt[4]{8}) = log_2(2^{3/2}) + 2log_2(2^{3/4}) = \frac{3}{2} + 2 mes \frac{3}{4} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$$

$$(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt[4]{8})^4 = 8 + 8 = 16$$

Ответ: $$\begin{cases}x = 2\sqrt{2}\\y = \sqrt[4]{8}\end{cases}$$