11 xlog2(x)=8x2

$$x^{log_2(x)} = 8x^2$$

Прологарифмируем обе части по основанию 2:

$$log_2(x^{log_2(x)}) = log_2(8x^2)$$

Используем свойства логарифмов:

$$log_2(x) mes log_2(x) = log_2(8) + log_2(x^2)$$

$$(log_2(x))^2 = 3 + 2log_2(x)$$

Пусть $$y = log_2(x)$$, тогда:

$$y^2 = 3 + 2y$$

$$y^2 - 2y - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 - 4 mes 1 mes (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$y_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

$$y_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

Вернемся к переменной x:

1) $$log_2(x) = 3$$

$$x = 2^3 = 8$$

2) $$log_2(x) = -1$$

$$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

Проверим:

При x = 8:

$$8^{log_2(8)} = 8^3 = 512$$

$$8 \cdot 8^2 = 8 \cdot 64 = 512$$

При x = 1/2:

$$(1/2)^{log_2(1/2)} = (1/2)^{-1} = 2$$

$$8 \cdot (1/2)^2 = 8 \cdot (1/4) = 2$$

Ответ: $$8; \frac{1}{2}$$