5 108x+1 (2x²+2x²-3x+1)=3

Предполагаю, что в задании опечатка, исправляю:

$$log_{x+1}(2x^3 + 2x^2 - 3x + 1) = 3$$

По определению логарифма:

$$(x+1)^3 = 2x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Раскроем скобки:

$$x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 2x^3 + 2x^2 - 3x + 1$$

Перенесем все в правую часть:

$$2x^3 + 2x^2 - 3x + 1 - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 0$$

$$2x^3 + 2x^2 - 3x + 1 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$$

$$x^3 - x^2 - 6x = 0$$

Вынесем x за скобки:

$$x(x^2 - x - 6) = 0$$

Получаем два случая:

1) $$x = 0$$

2) $$x^2 - x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 mes 1 mes (-6) = 1 + 24 = 25$$

Дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 mes 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 mes 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Теперь проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение:

Для x = 0:

$$log_{0+1}(2(0)^3 + 2(0)^2 - 3(0) + 1) = log_{1}(1)$$

Основание логарифма не может быть равно 1. Следовательно, корень x = 0 не подходит.

Для x = 3:

$$log_{3+1}(2(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3) + 1) = log_{4}(54 + 18 - 9 + 1) = log_{4}(64) = 3$$

Для x = -2:

$$log_{-2+1}(2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) + 1) = log_{-1}(-16 + 8 + 6 + 1) = log_{-1}(-1)$$

Основание логарифма не может быть отрицательным. Следовательно, корень x = -2 не подходит.

Ответ: $$3$$