5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна a см, а острый угол – 60°. Найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основанием угол 30°.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB = a - меньшая боковая сторона, угол ADC = 60°. Меньшая диагональ AC образует с основанием AD угол 30°. Нужно найти площадь трапеции. Так как угол ADC = 60°, то угол BCD = 180° - 60° = 120°. Рассмотрим треугольник ABC. Угол BAC = 90° - 30° = 60°. Значит, треугольник ABC - прямоугольный с углом ACB = 30°. BC = AB \cdot cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} CD = AB \cdot sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} В треугольнике ACD: AC = \frac{AD}{cos(30^\circ)} = \frac{2AD}{\sqrt{3}} AC = \frac{BC}{sin(60)} или AC = a/sin(60) = 2a/sqrt{3} AD = AC \cdot cos(30) = 2a/sqrt(3) * sqrt(3)/2 = a. Тогда: $$ S = (BC+AD) /2 * AB = (a*\frac{\sqrt{3}}{2} + a) /2 * a = (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)*\frac{a^2}{2} = \frac{a^2(2+\sqrt{3})}{4}$$ . **Ответ: $$\frac{a^2(2+\sqrt{3})}{4}$$**