4. Разность углов ромба равна 60°. Найдите площадь ромба, если его большая диагональ равна $$6\sqrt{3}$$ см.

Пусть углы ромба $$\alpha$$ и $$\beta$$, где $$\alpha > \beta$$. Тогда $$\alpha - \beta = 60^\circ$$ и $$\alpha + \beta = 180^\circ$$ (так как это углы, прилежащие к одной стороне ромба). Сложим два уравнения: $$2\alpha = 240^\circ$$, следовательно, $$\alpha = 120^\circ$$. Тогда $$\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$. Большая диагональ лежит напротив большего угла, то есть угла $$120^\circ$$. Пусть сторона ромба равна a. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и большей диагональю. По теореме косинусов: $$(6\sqrt{3})^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot cos(120^\circ)$$ $$36 \cdot 3 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$108 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$ $$a^2 = \frac{108}{3} = 36$$ $$a = \sqrt{36} = 6$$ см. Площадь ромба можно найти по формуле: $$S = a^2 \cdot sin(\beta) = 6^2 \cdot sin(60^\circ) = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$$ кв.см. **Ответ: $$18\sqrt{3}$$ кв. см**